Binomická věta umožňuje rozepsat €n€-tou mocninu dvou sčítanců € (a+b)^n € jako součet € n+1 € sčítanců, které jsou tvořeny součinem přirozeného čísla a mocnin těchto proměnných. Vzorec pro použití binomické věty vypadá takto:

£ \begin{align*} (a+b)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\ & n,k \in N \end{align*} £

Kombinační číslo n nad k lze vypočítat podle tohoto vzorce:

£ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} £

Popišme si nyní jednotlivé členy na pravé straně:

  • suma od 0 do N (včetně) - výsledkem věty tedy bude součet € n+1 € členů
  • kombinační číslo (N nad K) - každý tento člen bude násoben přirozeným číslem
  • součin mocnin A a B - každý člen bude obsahovat součin mocnin členů A a B
geometrický význam binomické věty pro druhou mocninu

geometrický význam binomické věty pro druhou mocninu

geometrický význam binomické věty pro třetí mocninu

geometrický význam binomické věty pro třetí mocninu

Příklad

Konkrétní výpočet si ukážeme na příkladu, ve kterém z obecného vzorce odvodíme vztahy pro druhou mocninu součtu a rozdílu dvou členů.

Druhá mocnina součtu dvou členů

  1. Zadání a nalezení potřebných hodnot pro použití v obecném vzorci:
£ (x+y)^2 \Rightarrow a=x,b=y,n=2 £
  1. Dosazení do obecného vzorce:
£ (a+b)^2 = \sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} a^{2-k}b^{k} £
  1. Rozepsání součtu dle obecného vzorce:
£ (a+b)^2 = \binom{2}{0} a^2b^0 + \binom{2}{1} a^1b^1 + \binom{2}{2} a^0b^2 £
  1. Dopočítání kombinačních čísel:
£ (a+b)^2 = 1 \cdot a^2b^0 + 2 \cdot a^1b^1 + 1 \cdot a^0b^2 £
  1. Zapsání upravaného výsledku:
£ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 £

Druhá mocnina rozdílu dvou členů

Musíme si uvědomit, že nám plus v obecném vzorci nevadí - my si totiž můžeme převést rozdíl kladných čísel na součet kladného čísla a záporného čísla. Jediné, co se pak změní, bude znaménko u čísla b. Až se vám binomická věta dostane víc do krve, budete schopní počítat se záporným číslem b již ve vzorci pro součet (každý sčítanec s lichou mocninou b bude záporný).

  1. Začneme stejně jako u výpočtu druhé mocniny součtu, a to nalezením hodnot:
£ (x+y)^2 \Rightarrow a=x,b=-y,n=2 £
  1. Dosazení do obecného vzorce:
£ (a+b)^2 = \sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} a^{2-k}b^{k} £
  1. Rozepsání součtu dle obecného vzorce:
£ (a+b)^2 = \binom{2}{0} a^2b^0 + \binom{2}{1} a^1b^1 + \binom{2}{2} a^0b^2 £
  1. Dopočítání kombinačních čísel:
£ (a+b)^2 = 1 \cdot a^2b^0 + 2 \cdot a^1b^1 + 1 \cdot a^0b^2 £
  1. Zapsání upravaného výsledku:
£ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 £
  1. Dosazení původních čísel:
£ \begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ &\rightarrow \left\{ a=x,b=-y \right\} \rightarrow \\ &= x^2 + 2x(-y) + (-y)^2 \\ &= x^2 - 2xy + y^2 \end{align*} £

Pascalův trojůhelník

V binomické větě můžeme najít zajímavou a užitečnou souvislost s Pascalovým trojúhelníkem. Pascalův trojúhelník je geometrické uspořádání čísel, ve kterém je každé číslo dáno součtem dvou čísel nad ním (v předcházejícím řádku), přičemž první dva řádky jsou tvořeny čísly 1 a 1, 1 (pro úplnost dodáme, že "vnějšek" trojúhelníku se chová jako nula).

£ \begin{matrix} &&&&&1\\ &&&&1&&1\\ &&&1&&2&&1\\ &&1&&3&&3&&1\\ &1&&4&&6&&4&&1\\ \end{matrix} £

Všimněte si, že např. ve třetím řádku najdeme čísla 1, 2, 1. Není to podobné kombinačním číslům ve vzorci (a + b) na druhou? Není to náhoda, tato souvislost se opravdu dá dobře použít.

Každý n-tý řádek Pascalova trojúhelníku můžeme brát jako seznam kombinačních čísel členů binomického rozkladu pro (n-1)-ní mocninu. Například pro třetí mocninu dvojčlenu vezmeme čtvrtý, pro čtvrtou pátý, pro desátou jedenáctý (...) řádek Pascalova trojúhelníku a nemusíme tedy složitě počítat kombinační čísla přes faktoriály. Hodně se to hodí např. při písemce, kdy si napíšete Pascalův trojúhelník s dostatečným počtem řádků (to jde rychle) a binomická věta se hned počítá lépe.