Derivace funkce vyjadřuje závislost mezi velikostí změny její hodnoty a velikostí změny jejího argumentu. Derivace funkce v bodě má geometrický význam směrnice tečny v tomto bodě (pokud je zde definována). Opačnou operací k derivování je integrování.

Pojem derivace silně souvisí s definicí spojitosti funkce.

£ f'(x) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \lim_{\delta \rightarrow 0} \frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} £

Tabulkové derivace

Polynomy

FunkceDerivace funkce
€c€€0€
€x^c€€c \cdot x^{c-1}€

Mocniny a logaritmy

FunkceDerivace funkce
€c^x€€c^x \cdot \ln c€
€e^x€€e^x \cdot \ln e = e^x€
€\log_a x€€\frac{1}{x \cdot \ln a}€
€\ln x€€\frac{1}{x \cdot \ln e} = \frac{1}{x}€

Goniometrické funkce

FunkceDerivace funkce
€\sin x€€\cos x€
€\cos x€€-\sin x€
€\mathrm{tg}; x€€\frac{1}{\cos^2 x}€
€\mathrm{cotg}; x€€-\frac{1}{\sin^2 x}€

Pravidla pro výpočet

£ \begin{align*} (c \cdot f(x))' &= c \cdot f'(x) \\ (f(x) + g(x))' &= f'(x) + g'(x) \\ (f(x) \cdot g(x))' &= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \\ (\frac{f(x)}{g(x)})' &= \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} \\ (f[g(x)])' &= f'[g(x)] \cdot g'(x) \\ (f(x)^{g(x)})' &= (e^{g(x) \cdot \ln f(x)})' \end{align*} £

Vícenásobná derivace

Derivace n-tého řádu (také n-tá derivace) je n-krát postupně provedená derivace.

£ f''(x) = (f'(x))' £

Reference

  • předmět X01MA1 na FEL ČVUT