Eulerovo číslo

Eulerovo číslo (někdy také Napierova konstanta) je jedna z nejdůležitějších konstant v matematice. Jedna z definic říká, že je to jediné reálné číslo a takové, že funkce € a^x € má hodnotu směrnice tečny v bodě nula rovnu jedné. Jedná se o číslo transcendentní. Malým písmenem e se tato konstanta označuje od roku 1736 na počest významného švýcarského matematika Leonardha Eulera.

Eulerovo číslo je základ přirozeného logaritmu a objevuje se nejčastěji při výpočtech limit, derivací a integrálů.

Historie

První zmínka o této konstantě se objevují v pracech Johna Napiera v roce 1618. Výpočtem její hodnoty se zabýval už i Isaac Newton, který konstantu zapsal pomocí součtu nekonečné řady.

MatematikRokPočet desetinných míst
L. Euler174823
W. Shanks1871205
J. M. Boorman1884346
J. von Neumann19492010
D. Shanks & J. W. Wrench1961100265
P. Demichel199750000817
S. Wedeniwski1999869894101
X. Gourdon19991250000000
X. Gourdon200012884901000

Hodnota

2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547
59457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073
81323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092
44761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261
33138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014
16928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059
87931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398
49646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328
23764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903
51598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363463244
96848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625
31520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157...

Výpočet

£ e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} £

Vztahy

Vztah s číslem pí udává vzorec € e^{i \cdot \pi} + 1 = 0 €, který byl kdysi zvolen za nejkrásnější matematický vztah. Tento vztah je konkrétním případem obecnější rovnice (tzv. Eulerovy rovnice) € e^{e \cdot \phi} = \cos \phi + i \cdot \sin \phi €.

Výše uvedený vztah je považován za krásný z několika hledisek: obsahuje pět důležitých konstant € (0,1,\pi,e,i) € a tři základní aritmetické operace (sčítání, násobení, umocnění). Benjamin Peirce k němu řekl svým studentům následující:

Gentlemen, we have not the slightest idea what this equation means, but we may be sure that it means something very important.
Benjamin Peirce

Reference