Definice

Prvek a z množiny A monoidu € (A, \circ, e) € s neutrálním prvkem e je invertibilní právě tehdy, když k němu v nosné množině A existuje inverzní prvek z takový, že € a \circ z = e = z \circ a €. Tento prvek je určen jednoznačně.

Grupa je každý monoid € (A, \circ, e) €, ve kterém jsou všechny prvky nosné množiny invertibilní dle výše uvedené definice. Platí tedy, že € \forall a \in A: \exists z \in A: a \circ z = e = z \circ a €.

Grupa je komutativní, právě když je operace € \circ € komutativní.

Příklady

Grupou je například množina celých čísel spolu s operací sčítání a nulou jako neutrálním prvkem € (\mathbb{Z}, +, 0) €. Inverzním prvkem k číslu A je číslo -A.

Grupou je i množina reálných čísel spolu s operací násobení a jedničkou jako neutrálním prvkem € (\mathbb{R}, +, 1) €. Inverzním prvkem k číslu A je číslo 1/A.

Podgrupa

Nechť € (A,\circ,e) € je grupa. Trojice € (B,+,g) € je její podgrupa, právě když platí:

£ \begin{align} B &\subseteq A \\ g &= e \\ \forall b &\in B : b^{-1} \in B \end{align} £

Lagrangeova věta

Nechť € (A,\circ,e) € je konečná grupa a € (B,+,g) € její podgrupa. Pak řád podgrupy € (B,+,g) € (počet prvků množiny B) dělí řád grupy € (A,\circ,e) € (počet prvků množiny A).

Podgrupa generovaná prvkem

Nechť € (A,\circ,e) € je konečná grupa. Umocnění prvku a na celé číslo b je definováno jako b-násobné postupné použití operace o na prvek a:

£ a \in A, n \in Z £
£ \begin{align} a^0 &= e \\ a^1 &= a \\ a^n &= a \circ a^{n-1} \\ a^{-n} &= {(a^{-1})}^n \end{align} £

Nechť € (A,\circ,e) € je konečná grupa. Její podgrupa € (B,\circ,e) € se nazývá podgrupa generovaná prvkem a, pokud platí, že:

£ a \in A, B = \{ a, a^2, \ldots, a^{r(a)} = e \} £

V tom případě se prvek a nazývá generátor. Nejmenší možné kladné číslo r(a) se nazývá řád prvku a.

Podgrupa generovaná prvkem a se značí takto:

£ B = \langle a \rangle £

Cyklická grupa

Každá grupa, která má generátor, se nazývá cyklická grupa. Všechny podgrupy cyklické grupy jsou také cyklické.

Je-li řád prvku a roven r, pak platí tento vztah:

£ r(a^k) = \frac{r(a)}{\mathrm{gcd}(r(a),k)} £

Grupový homomorfizmus

Nechť € (A,\circ,e) € a € (B,+,g) € jsou grupy. Zobrazení f je grupový homomorfizmus, právě když platí:

£ f : A \to B £
£ \begin{align} \forall x,y &\in A: \\ f (x + y) &= f (x) * f (y) \\ f (e) &= g \\ f (x^{{-1}_A}) &= (f (x))^{{-1}_B} \end{align} £

Stručně řečeno, grupový homomorfizmus respektuje binární operaci, neutrály a inverzi.

Grupový izomorfizmus

Grupový izomorfizmus je grupový homomorfizmus, který je vzájemně jednoznačným zobrazením (bijekcí). Dvě grupy € (A,\circ,e) € a € (B,+,g) € jsou izomorfní, právě když existuje nějaký izomorfizmus f, pro který platí:

£ f : A \to B £

Pokud toto platí, lze tuto vlastnost zapisovat jako:

£ A \simeq B £

Reference

  • předmět X01AVT na FEL ČVUT