Primitivní funkce

Primitivní funkce k funkci f(x) v intervalu I je taková funkce F(x), jejíž derivace je v daném intervalu rovna f(x). Platí tedy, že € \forall x \in (a,b) :; F'(x) = f(x) €.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál funkce f(x) je množina všech primitivních funkcí k funkci f(x). Postup hledání těchto funkcí se nazývá integrování a je to opačný proces k derivování.

Integrace funkce f se zapisuje jako €\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) €.

Tabulkové integrály

Polynomy

FunkcePrimitivní funkce
€x^c€€\frac{x^{c+1}}{c+1} + C, c \neq -1, x > 0€
€\frac{1}{x}€€\ln \lvert x \rvert + C, x \neq 0€

Exponenciály a logaritmy

FunkcePrimitivní funkce
€e^x€€e^x + C€
€c^x€€\frac{c^x}{\ln c} + C, c > 0, c \neq 1€
€\log_c x€€x \cdot \log_c x - \frac{x}{\ln c} + C€
€\ln x€€x \cdot \log_e x - \frac{x}{\ln e} = x \cdot \ln x - x + C€

Goniometrické funkce

FunkcePrimitivní funkce
€\sin x€€-\cos x + C€
€\cos x€€\sin x + C€
€\sinh x€€\cosh x + C€
€\cosh x€€\sinh x + C€

Metody integrování

Substituce

Věta o přímé substituci: Nechť f(x) je funkce definovaná na intervalu I a má na něm primitivní funkci F(x). Nechť g(x) je funkce z intervalu J do intervalu I, která je diferencovatelná na J. Pak F(g) je primitivní funkce k f(g)g' na J:

£ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \; \mathrm{d}x = (\int f(y) \; \mathrm{d}y) |_{y=g(x)} £

Per partes

Věta o integraci per partes: Nechť f(x) a g(x) jsou funkce diferencovatelné na intervalu I. Pak f(x)g'(x) je integrovatelná na I právě tehdy, je-li f'g integrovatelná na I. Navíc platí, že jestliže je F primitivní funkce k f'g na I, pak je fg-F primitivní funkce k fg' na I.

£ \int f(x) \cdot g'(x) \; \mathrm{d}x = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \; \mathrm{d}x £

Reference