Primitivní funkce k funkci f(x) v intervalu I je taková funkce F(x), jejíž derivace je v daném intervalu rovna f(x). Platí tedy, že € \forall x \in (a,b) :; F'(x) = f(x) €.
Neurčitý integrál funkce f(x) je množina všech primitivních funkcí k funkci f(x). Postup hledání těchto funkcí se nazývá integrování a je to opačný proces k derivování.
Integrace funkce f se zapisuje jako €\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) €.
| Funkce | Primitivní funkce |
|---|---|
| €x^c€ | €\frac{x^{c+1}}{c+1} + C, c \neq -1, x > 0€ |
| €\frac{1}{x}€ | €\ln \lvert x \rvert + C, x \neq 0€ |
| Funkce | Primitivní funkce |
|---|---|
| €e^x€ | €e^x + C€ |
| €c^x€ | €\frac{c^x}{\ln c} + C, c > 0, c \neq 1€ |
| €\log_c x€ | €x \cdot \log_c x - \frac{x}{\ln c} + C€ |
| €\ln x€ | €x \cdot \log_e x - \frac{x}{\ln e} = x \cdot \ln x - x + C€ |
| Funkce | Primitivní funkce |
|---|---|
| €\sin x€ | €-\cos x + C€ |
| €\cos x€ | €\sin x + C€ |
| €\sinh x€ | €\cosh x + C€ |
| €\cosh x€ | €\sinh x + C€ |
Věta o přímé substituci: Nechť f(x) je funkce definovaná na intervalu I a má na něm primitivní funkci F(x). Nechť g(x) je funkce z intervalu J do intervalu I, která je diferencovatelná na J. Pak F(g) je primitivní funkce k f(g)g' na J:
Věta o integraci per partes: Nechť f(x) a g(x) jsou funkce diferencovatelné na intervalu I. Pak f(x)g'(x) je integrovatelná na I právě tehdy, je-li f'g integrovatelná na I. Navíc platí, že jestliže je F primitivní funkce k f'g na I, pak je fg-F primitivní funkce k fg' na I.