Množina komplexních čísel C je množina uspořádaných dvojic (X,Y), kde X a Y jsou reálná čísla. Prvek X se označuje jako reálná část komplexního čísla a prvek Y jako imaginární část. Na množině C je definována rovnost, sčítání a násobení následovně:

Rovnost

£ (x_1,y_1) = (x_2,y_2) \leftrightarrow x_1=x_2 \land y_1=y_2 £

Sčítání

£ (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) £

Násobení

£ (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2,y_1 x_2 + x_1 y_2) £

Speciální případy komplexních čísel

Reálná čísla

Každé komplexní číslo ve tvaru (r,0) odpovídá reálnému číslu r.

Ryze imaginární čísla

Každé komplexní číslo ve tvaru (0,s) se označuje jako ryze imaginární číslo.

Komplexní jednotka

Dvojice (0,1) se označuje jako komplexní jednotka, zkráceně i. Druhá mocnina komplexní jednotky je rovna reálnému číslu -1, což lze odvodit z definice násobení:

£ (0,1) \cdot (0,1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) = (-1,0) £

Komplexně sdružená čísla

Dvě komplexní čísla ve tvaru (r,s) a (r,-s) se nazývají komplexně sdružená čísla.

Absolutní hodnota

Absolutní hodnotu komplexního čísla (x,y) lze vypočítat jako délku přepony pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délky x, y.

£ |Z| = |(x,y)| = \sqrt{x^2+y^2} £

Zápis komplexních čísel

Komplexní čísla lze zapisovat různě a konkrétní způsob se volí podle své vhodnosti v dané situaci (úspora místa, jednoduchost zápisu, názornost). Existuje několik základních způsobů zápisu.

Uspořádaná dvojice reálných čísel

Zápis pomocí uspořádané dvojice reálných čísel byl již představen. Lze si pod ním představit jakýsi vektor nebo souřadnice bodu v rovině. Jednotkovým vektorem ve směru osy X je vektor (1,0), čili reálné číslo 1. Ve směru osy Y je pak jednotkovým vektor (0,1), čili komplexní jednotka i.

£ Z = (x,y) £

Algebraický (složkový) tvar

Algebraický tvar je vhodný zejména pro úpravy a zjednodušování algebraických výrazů. Komplexní číslo se tímto způsobem zapisuje jako součet tzv. reálné a imaginární části. Imaginární část je vynásobena komplexní jednotkou (i). Po úpravě lze komplexní jednotku vytknout a vytvořit tak opět lehce algebraický tvar.

£ Z = x + i \cdot y £

Gaussova rovina (geometrická reprezentace)

Každé komplexní číslo lze graficky znázornit v rovině, která se označuje jako komplexní nebo Gaussova rovina. Ta je vymezená dvěma navzájem kolmými osami X a Y. Na jednu z nich (vodorovnou, X) se vynáší reálná část (složka) komplexního čísla a na druhou (svislou, Y) se vynáší jeho imaginární část. Obrazem komplexního čísla v této rovině je bod a absolutní hodnota vzoru (odpovídajícího komplexního čísla) je rovna délce úsečky spojující tento bod s počátkem (bodem na souřadnicích (0,0)).

Uhel, který tato úsečka svírá s vodorovnou osou X, se označuje jako argument komplexního čísla. Hodnotu argumentu, délku úsečky či velikosti jednotlivých složek komplexního čísla lze vzájemně vyjadřovat využitím pravoúhlého trojúhelníku, Pytagorovy věty a funkcí sinus, cosinus a tangens.

Hodnota argumentu není definovaná pro počátek (0,0) a není jednoznačná - každý argument lze libovolně zvětšovat či zmenšovat o celočíselný násobek 2 pi. Jako hlavní hodnota argumentu komplexního čísla se označuje jeho hodnota v rozmezí (-pi,pi).

Goniometrický tvar

Goniometrický tvar je založen na goniometrických funkcích sinus a cosinus a je těsně spjatý s geometrickou interpretací komplexních čísel (v Gaussově rovině). Pro zápis v goniometrickém tvaru je potřeba znát absolutní hodnotu komplexního čísla (|Z|) a jeho argument (alfa):

£ |Z| = |(x,y)| = \sqrt{x^2+y^2} £
£ \cos \alpha = \frac{x}{|Z|}, \sin \alpha = \frac{y}{|Z|} £

Nyní lze komplexní číslo zapsat v goniometrickém tvaru takto:

£ Z = |Z|(\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha) £

Goniometrický tvar není jednoznačný, neboť jsou funkce sinus a kosinus periodické. Argument komplexního čísla se tedy může volně zvyšovat či snižovat o hodnotu 2 pi radiánů (360 stupňů).

Fázorový tvar

Fázorový tvar se používá zejména v elektrotechnice pro analýzu elektrických obvodů. Podobně jako goniometrický tvar, i fázorový zápis vychází z absolutní hodnoty komplexního čísla, tzv. amplitudy (Z) a jeho argumentu, tzv. počáteční fáze (alfa).

£ Z = |Z| \cdot e^{i \cdot \alpha} £

Mezi goniometrickým tvarem a fázorem existuje známý Eulerův vztah:

£ A \cdot e^{i \cdot \alpha} = A \cdot \cos \alpha + A \cdot i \cdot \sin \alpha £

Dále platí, že je komplexní exponenciála periodická s periodou 2 pi.

£ e^z = e^{z + 2 \cdot k \cdot \pi \cdot i} £

Verzorový tvar (Kenellyho tvar)

Zápis ve fázorovém tvaru lze zapsat úsporněji pomocí speciální notace, která využívá symbolu mezi absolutní hodnotou komplexního čísla (|Z|) a jeho argumentem (alfa).

£ Z = |Z| \cdot e^{i \cdot \alpha} = |Z| < \alpha £

Moivrova věta

Moivrova věta je vztah pro výpočet celočíselné mocniny komplexního čísla.

£ (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha)^k = \cos k \cdot \alpha + i \cdot \sin k \cdot \alpha; k \in Z, \alpha \in R £

Reference