Kvadratická rovnice je matematická rovnice, ve které je nejvyšší stupeň (mocnina) neznámé roven dvěma. Tento typ rovnice má nejvýše dvě řešení.

Řešení

Každou kvadratickou rovnici lze upravit do následujícího tvaru:

£ \begin{align*} ax^2 + bx + c &= 0 \\ a,b,c &\in C \\ a \neq 0 \end{align*} £
  • x = neznámá
  • a = kvadratický koeficient
  • b = lineární koeficient
  • c = absolutní člen

Výpočet diskriminantu

Prvním krokem k řešení je výpočet tzv. diskriminantu, který se označuje písmenem D. Ten se vypočte dosazením do následujícího vzorce:

£ D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c £

Další postup závisí na jeho hodnotě.

Diskriminant > 0

Je-li diskriminant větší než nula, bude mít rovnice dvě řešení, která se z koeficientů a diskriminantu vypočítají takto:

£ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} £

Je-li diskriminant komplexní, lze pro jeho odmocnění použít Moivrovu větu.

£ \begin{align*} D &= \left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}) \\ \sqrt{D} &= (\left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}))^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{D} &= \left\{ \left| D \right|^{\frac{1}{2}} (\cos{\frac{x+2k\pi}{2}} + i \sin{\frac{x+2k\pi}{2}}) \right\} \\ 0 \leq &k \leq 1; k \in N \end{align*} £

Diskriminant = 0

Je-li diskriminant nulový, bude mít rovnice jedno řešení. Vzorec pro výpočet tohoto řešení vychází ze vzorce pro D>0, ale díky nulovému diskriminantu jej lze zjednodušit.

£ \begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} \end{align*} £

Diskriminant < 0

A konečně, je-li diskriminant menší než nula, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.

V oboru komplexních čísel má však rovnice pro diskriminant menší než nula dvě komplexně sdružená řešení, která lze vypočítat takto:

£ \begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{(i^2)(-D)}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{i^2}\sqrt{-D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm i \sqrt{-D}}{2a} \end{align*} £

Vyjádření funkce grafem

Chceme-li zakreslit graf funkce € y = ax^2+bx+c €, nejjednodušší je získat průsečíky z osou x a podle znaménka koeficientu a nasměrovat "zobáček" funkce dolů (pro kladný koeficient) nebo nahoru (pro záporný koeficient). Průsečíky s osou x získáme tak, že položíme y rovno nule, podobně pro osu y.

grafy různých kvadratických funkcí dle diskriminantu

grafy různých kvadratických funkcí dle diskriminantu

Vyjádření funkce z grafu

Pro nalezení zápisu kvadratické funkce vyznačené grafem potřebujeme alespoň tři její body €(x_1,y_1)€, €(x_2,y_2)€, €(x_3,y_3)€. Snadno dostupnými body budou typicky průniky s osami x, y nebo vrchol. Tím získáme soustavu tří rovnic se třemi neznámými a, b, c:

£ \begin{align*} y_1 &= a{x_1}^2+bx_1+c \\ y_2 &= a{x_2}^2+bx_2+c \\ y_3 &= a{x_3}^2+bx_3+c \end{align*} £

Tuto soustavu vyřešíme a koeficienty dosadíme do obecného vzorce kvadratické funkce.

Reference