Kvadratická rovnice

Kvadratická rovnice je matematická rovnice, ve které je nejvyšší stupeň (mocnina) neznámé roven dvěma. Tento typ rovnice má nejvýše dvě řešení.

Řešení

Každou kvadratickou rovnici lze upravit do následujícího tvaru:

£ \begin{align*} ax^2 + bx + c &= 0 \\ a,b,c &\in C \\ a \neq 0 \end{align*} £
  • x = neznámá
  • a = kvadratický koeficient
  • b = lineární koeficient
  • c = absolutní člen

Výpočet diskriminantu

Prvním krokem k řešení je výpočet tzv. diskriminantu, který se označuje písmenem D. Ten se vypočte dosazením do následujícího vzorce:

£ D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c £

Další postup závisí na jeho hodnotě.

Diskriminant > 0

Je-li diskriminant větší než nula, bude mít rovnice dvě řešení, která se z koeficientů a diskriminantu vypočítají takto:

£ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} £

Je-li diskriminant komplexní, lze pro jeho odmocnění použít Moivrovu větu.

£ \begin{align*} D &= \left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}) \\ \sqrt{D} &= (\left| D \right| (\cos{x} + i \sin{x}))^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{D} &= \left\{ \left| D \right|^{\frac{1}{2}} (\cos{\frac{x+2k\pi}{2}} + i \sin{\frac{x+2k\pi}{2}}) \right\} \\ 0 \leq &k \leq 1; k \in N \end{align*} £

Diskriminant = 0

Je-li diskriminant nulový, bude mít rovnice jedno řešení. Vzorec pro výpočet tohoto řešení vychází ze vzorce pro D>0, ale díky nulovému diskriminantu jej lze zjednodušit.

£ \begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} \end{align*} £

Diskriminant < 0

A konečně, je-li diskriminant menší než nula, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.

V oboru komplexních čísel má však rovnice pro diskriminant menší než nula dvě komplexně sdružená řešení, která lze vypočítat takto:

£ \begin{align*} x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{(i^2)(-D)}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{i^2}\sqrt{-D}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm i \sqrt{-D}}{2a} \end{align*} £

Vyjádření funkce grafem

Chceme-li zakreslit graf funkce € y = ax^2+bx+c €, nejjednodušší je získat průsečíky z osou x a podle znaménka koeficientu a nasměrovat "zobáček" funkce dolů (pro kladný koeficient) nebo nahoru (pro záporný koeficient). Průsečíky s osou x získáme tak, že položíme y rovno nule, podobně pro osu y.

grafy různých kvadratických funkcí dle diskriminantu

grafy různých kvadratických funkcí dle diskriminantu

Vyjádření funkce z grafu

Pro nalezení zápisu kvadratické funkce vyznačené grafem potřebujeme alespoň tři její body €(x_1,y_1)€, €(x_2,y_2)€, €(x_3,y_3)€. Snadno dostupnými body budou typicky průniky s osami x, y nebo vrchol. Tím získáme soustavu tří rovnic se třemi neznámými a, b, c:

£ \begin{align*} y_1 &= a{x_1}^2+bx_1+c \\ y_2 &= a{x_2}^2+bx_2+c \\ y_3 &= a{x_3}^2+bx_3+c \end{align*} £

Tuto soustavu vyřešíme a koeficienty dosadíme do obecného vzorce kvadratické funkce.

Reference