Matice typu € (m,n) € je uspořádaná m-tice prvků z € \mathbb{R}^n €. Jednotlivé prvky takové m-tice se nazývají řádky matice. Nechť € a_r € je r-tý řádek matice A. Potom se s-tý prvek tohoto řádku nazývá prvek matice na pozici € (r,s) €.

Matice se nejčastěji zapisuje jako tabulka čísel ohraničená závorkami.

£ \begin{pmatrix} a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m,1} & \ldots & a_{m,n} \\ \end{pmatrix} £

Jako hlavní diagonála matice se označují všechny její prvky € a(i,j) €, kde € i = j €. Je to tedy první prvek prvního řádku, druhý prvek druhého řádku, a tak dále.

Druhy matic

Matice typu € (m,n) €, kde € m = n €, se označuje jako čtvercová matice.

£ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -3 & 0 \\ \end{pmatrix} £

Matice libovolného typu, která má všechny prvky všech řádků rovny nule, se nazývá nulová matice.

£ \mathbb{0} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} £

Čtvercová matice typu € (n,n) €, která má všechny prvky na pozicích € (i,j) € kde € i = j € rovny 1 a ostatní prvky nulové, se označuje jako jednotková matice € E_n €.

£ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \; \; \; E_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} £

Matice je symetrická, jestliže se při transpozici nemění, tedy platí, že € A = A^T €.

£ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix}, \; \; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} £

Jestliže platí, že € A = -A^T €, mluví se o matici antisymetrické.

£ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \\ \end{pmatrix}, \; \; \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} £

Jako diagonální matice se označuje taková matice, jejíž prvky € a(i,j) € jsou nulové pro € i \neq j € a zároveň existuje alespoň jeden nenulový prvek € a(i,j) € pro € i = j € (na hlavní diagonále).

£ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{pmatrix}, \; \; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} £

Operace

Transpozice

Nechť A je matice s prvky € a(i,j) €. Jako transponovaná matice k matici A se označuje matice € A^T € s prvky € a^T(j,i) €. Transponovat matici tedy znamená zaměnit její řádky a sloupce.

£ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ \end{pmatrix}, \; \; \; A^T = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 2 & 20 \\ 3 & 30\\ \end{pmatrix} £

Sčítání

Sčítat lze pouze dvě matice A, B stejného typu € (m,n) €. Výsledná matice C je opět stejného typu a každý její prvek je roven součtu odpovídajících prvků obou matic A a B, tedy € c(i,j) = a(i,j) + b(i,j) €.

£ \begin{pmatrix} a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m,1} & \ldots & a_{m,n} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{1,1} & \ldots & b_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{m,1} & \ldots & b_{m,n} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1} & \ldots & a_{1,n}+b_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m,1}+b_{m,1} & \ldots & a_{m,n}+b_{m,n} \\ \end{pmatrix} £

Násobení konstantou

Matice se násobí konstantou tak, že se tou samou konstantou vynásobí každý její prvek. Násobením matice s prvky € a(i,j) € konstantou gamma tedy vznikne matice s prvky € \gamma \cdot a(i,j) €.

£ \gamma \cdot \begin{pmatrix} a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m,1} & \ldots & a_{m,n} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \cdot a_{1,1} & \ldots & \gamma \cdot a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ \gamma \cdot a_{m,1} & \ldots & \gamma \cdot a_{m,n} \\ \end{pmatrix} £

Násobení maticí

Matici A typu € (r,s) € lze násobit pouze s libovolnou maticí B typu € (s,t) €, kde € r,s,t \in N €. Vzniklá matice bude typu € (r,t) €, bude tedy mít tolik řádků jako první matice A a tolik sloupců jako druhá matice B. Operace násobení matic není komutativní.

£ C = A \cdot B \rightarrow c(i,j) = \sum_{k=1}^s a(i,k) \cdot b(k,j) £

Násobení matic ilustruje následující obrázek.

£ \begin{pmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ \Box & \Box & \Box \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \blacksquare & \Box \\ \blacksquare & \Box \\ \blacksquare & \Box \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \blacksquare & ? \\ ? & ? \\ \end{pmatrix} £

Reference

  • předmět X01AVT na ČVUT
  • předmět X01ALG na ČVUT
  • Petr Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární