Definice

Monoid je každá pologrupa € (A, \circ) €, jejíž množina A obsahuje tzv. neutrální prvek e (někdy též jednotkový prvek), který v podstatě "neutralizuje" operaci a ponechává její druhý argument beze změny. Pro všechny prvky nosné množiny A a neutrální prvek e tedy musí platit, že € e \circ a = a \circ e = a €. Takový monoid lze také zapsat ve formě € (A, \circ, e) €, čímž explicitně uvádíme neutrální prvek a zároveň říkáme, že nosná množina není prázdná (obsahuje alespoň neutrální prvek).

Monoid je komutativní, právě když je operace € \circ € komutativní.

Rozšířením monoidu o inverzi vznikne grupa.

Příklady

Monoidem je například množina reálných čísel spolu s operací sčítání a nulou jako neutrálním prvkem € (N, +, 0) €. Kladná přirozená čísla spolu se sčítáním a nulou € (N^{+}, +, 0) € monoid netvoří, protože neobsahují neutrální prvek (nula se neřadí do kladných přirozených čísel).

Reference

  • předmět X01AVT na FEL ČVUT