Nechť má funkce f v bodě a všechny derivace až po řád n. Taylorův polynom f stupně n se středem a je definován jako:

£ f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k} £

Taylorův polynom lze použít k aproximaci funkcí. Čím více členů polynomu je k dispozici, tím více se aproximace blíží původní funkci.

Taylorův polynom je založen na tomto principu: dvě funkce si jsou v okolí bodu a tím více podobné, čím více se podobají jejich derivace vyšších řádů v tomto bodě.

Příklady

Taylorův polynom stupně 2 funkce € \sin(x) € se středem v bodě 3:

£ T_2(x) = \sin(3) + \cos(3)(x-3) - \frac{1}{2}\sin(3)(x-3)^2 £

Taylorův polynom stupně 1 funkce € \sin(x) € se středem v bodě -2:

£ T_1(x) = -\sin(2) + \cos(2)(x+2) £

Taylorův polynom stupně 1 funkce € \sqrt{x+8} € se středem v bodě 0:

£ T_2(x) = \sqrt{8} + \frac{1}{16} \sqrt{8} x - \frac{1}{512} \sqrt{8} x^2 £

Reference